C3C分析与决策 (二)：作战、撤退、炮击的概率

Jibuli

*阅读之前请先记住一句话：真正的概率谁也不会知道！
所以如果你对于玩C3C没有什么太高的要求，那么这篇文章也无需细看。我所作的事情无非是罗列了一大堆冗长的数字，以求得一些似乎有用的结论罢了……

*参考文章：
-Probability of winning with certain HP left  (Grendel)
-Info: Combat (GL)  (Marquis de Sodaq)
-Chance to Retreat?  (BomberEscort)
-Comprehensive Retreat Study  (BomberEscort)

*蓝色和绿色标记的部分是标题和结论，红色标记部分为理解难点或重点。

*以下部分是数学推导，不感兴趣的玩家请跳过。
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C3C中作战、撤退和炮击（轰炸）的概率计算需要用到不少数学知识，我在下面一一列出，有对此感兴趣的玩家可以参考。

1、古典概型：
在有限个样本点n中，每个样本点出现的可能性相同，包含某一事件S的样本点个数为m,则S发生的概率为：P(S)=m/n

这个公式在C3C中是如何解释的呢？我们通过分析作战概率来说明。

由于无论是攻击值还是防御值都是用数字来表示的，因此任何一个值每变化1点都表示变动量为1，即“每个样本点出现的可能性相同”；因此有限个样本点n即表示攻击值与防御值的和；事件S表示攻击事件或防御事件；包含事件S的样本点个数m表示攻击值或防御值。

假设双方在一轮战斗中进行了一次交锋（我们将任意一方HP每减少1点算一次交锋）：
事件A表示攻击方获胜，A表示攻击值；事件D表示防守方获胜，D表示防御值。则：
攻击获胜的概率为：P(A)=A/(A+D)
防御获胜的概率为：P(D)=D/(A+D)
m=A或D，n=A+D

一轮炮击（轰炸）中一次击中（我们将防守方每损失1点HP算一次击中）的概率也是相同的：
事件B表示炮击成功，B表示炮击攻击值；事件D表示炮击失败，D表示防御值。则：
炮击成功的概率为：P(B)=B/(B+D)
炮击失败的概率为：P(D)=D/(B+D)
m=B或D，n=B+D

上面分析的都是在每轮战斗中一次交锋或一次炮击的概率，实战中并不可能只有一次交锋或一次炮击。如果发生了多次交锋或多次炮击时，这样的概率该怎样计算呢？
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2、贝努里（Bernoulli）概型：
如果某一实验只出现两种结果S（成功）与S'（失败），则该实验被称为贝努里试验。若将此试验重复做n次，则称为n重贝努里试验。如果每次试验中成功或失败的概率均保持不变，那么n次试验中成功k次的概率p(k)为：

p(k)=p^k*q^(n-k)   (k=0,1,2...n)   ^表示幂（次方）运算，*表示乘法运算

p=P(S)表示成功的概率，q=P(S')=1-p表示失败的概率，n为试验总次数，k为成功次数。

C3C中多次交锋或炮击的概率计算条件是不是也符合这些要求呢？我们来看看：

C3C的两支部队交锋时，要么出现作战成功或失败的情况，要么出现撤退成功或失败的情况，要么出现炮击成功或失败的情况，因此符合贝努里概型中只出现两种结果的要求；由于前面已经探讨过部队进行一次交锋的概率符合古典概型，且各种数值是固定的，因此每次交锋成功或失败的概率是保持不变的，这一点也符合贝努里概型的要求，因此基本要求是符合了。但是如果套用的话，各个变量该如何定义呢？

如果将n重试验理解为每轮战斗中部队交锋的总次数、可撤退的次数、炮击的总次数；而将成功k次理解为获胜的次数、撤退成功的次数、炮击成功的次数，则C3C中这三者的概率计算公式就可以用贝努里概型来表达了。

但是这仅仅是求出了多次交锋或多次炮击时，攻击方能够获胜的概率或防守方能够获胜的概率。但到底多次交锋产生的各个结果是如何分布的呢？如果攻击方获胜的结果多数分布在前几次，那么前几次攻击方取得胜利次数的概率就大，实战中攻击方HP损失就少；如果攻击方获胜的结果多数分布在后几次，那么实战中攻击方HP损失就多；如果获胜的概率分布平均，则双方最后谁都有获胜的可能。因此我们需要对贝努里概型再进一步分析。
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3、随机变量及其分布：
随机变量指的是某个随机发生的结果。随机变量分为两种：离散型和非离散型

离散的意思是说，随机变量可以在固定条件下取数个数值，每个值都对应一个确定的概率。这个概率是独立的，与其他数值确定的概率是互不影响的。在图像上就表现为分段函数。

非离散主要指的是连续型随机变量，是说随机变量可以在某个区间内取值，每个不同的取值都会产生不同的概率，每个取值及其对应的概率对新产生的取值和新的概率都有影响。在图像上表现为连续而平滑的直线或曲线。

计算离散型随机变量的分布比较简单，只需要初等数学的知识就足够了；计算连续型随机变量的分布需要用积分的知识，为了方便起见，我们把C3C里面的所有概率都看作是离散型的，这样计算起来就容易一些。
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4、离散型随机变量rvX的二项分布X～B(n,p)：
离散型rvX的二项分布主要用于分析n重贝努里概型中的概率分布，因此也叫贝努里公式。其表达式为：

P{X=k}=p^k*q^(n-k)*C   (k=0,1....n) (0<p<1) (C=1,2....)

rvX（简记为X）表示某个随机变量；C=Case表示X的可能取值即出现的各种情况，它一般是一个组合（注意C不能取0，因为至少会有1种情况发生）；X～B(n,p)表示随机变量X服从参数n,p的取值。
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5、均值、方差与标准差：
均值在数学里面叫做数学期望，它反映的是整体的大概分布情况；

方差是用来分析若干个结果集中的程度，反映的是一种准确率，一般在某两种情况的均值一样的时候才计算方差以分析谁更准确；

由于方差是一个平方，因此反映上可能会由于平方的原因差生误差，所以要对其开方，求出它的开方值，这个值就是标准差。它的作用和方差是一样的。
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下一篇我们就开始研究各种概率计算的具体表达式。

[ 本帖最后由 96nn 于 2007-12-26 22:41 编辑 ]

Jibuli

我们先从作战的概率计算公式开始研究，因为它在计算过程中出现的各种情况最复杂，因此也最具有代表性。

〈一〉作战的概率计算公式：

(A/(A+D))^y*(D/(A+D))^z*nCr(y+z-1,y-1)
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^表示幂（次方）运算
A=攻击方攻击值
D=防守方防御值
x=AHP=攻击方HP
y=DHP=防守方HP（攻击方获胜的次数）
z=攻击方HP的损失量（防守方获胜的次数），(z=0,1,2...x-1)
nCr(y+z-1,y-1)是公式中最不好确定的。因为双方交战会出现数种战况，每种战况又有数种结果，虽然这些结果不同但最终的战况是不变的，它表示的就是在每种战况下会出现多少种结果（哎……这一点可能解释得很不清楚，你还是看下面的例子吧）。在真正计算的时候这是一个组合，即(y+z-1)!/(y-1)!(y+z-1-(y-1))!
上面的!表示阶乘计算。阶乘计算的方法很简单，比如：1!=1，2!=1x2，3!=1x2x3，……，0!=1
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〈第一步：求概率〉

作战概率计算起来并不难，但是要分好多种情况。我们就用具有不同HP值的剑士（A/D/M 3/2/1）vs长矛兵（A/D/M 1/2/1）的例子来一一说明：

条件：由于每次交锋的概率是不变的，所以A/(A+D)=3/(3+2)=0.6，D/(A+D)=0.4。同时我们假设最终总是攻击方获胜。

1、AHP=3, DHP=3

(1)第一种战况，攻击方（A）胜3场，防守方（D）胜0场：
出现的结果数为：(3+0-1)!/(3-1)!(3+0-1-(3-1))!=1（也就是只出现攻击方3场全胜这一结果，记为AAA）
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^0*1=21.6%

(2)第二种战况，攻击方（A）胜3场，防守方（D）胜1场：
出现的结果数为：(3+1-1)!/(3-1)!(3+1-1-(3-1))!=3（出现的3种结果是DAAA（防守方在第1次交锋中获胜），ADAA（防守方在第2次交锋中获胜），AADA（防守方在第3次交锋中获胜））
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^1*3=25.92%

(3)第三种战况，攻击方（A）胜3场，防守方（D）胜2场（最多只能胜AHP-1场）：
出现的结果数为：(3+2-1)!/(3-1)!(3+2-1-(3-1))!=6（出现的6种结果是ADADA，DADAA，ADDAA，AADDA，DDAAA，DAADA）
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^2*6=20.736%

最后，这名剑士在同长矛兵作战的整个战斗中，最终能取得胜利的概率为21.6%+25.92%+20.736%=68.256%
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2、AHP=3, DHP=4

(1)第一种战况，A胜4场，D胜0场：
出现的结果数为：(4+0-1)!/(4-1)!(4+0-1-(4-1))!=1
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^0*1=12.96%

(2)第二种战况，A胜4场，D胜1场：
出现的结果数为：(4+1-1)!/(4-1)!(4+1-1-(4-1))!=4
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^1*4=20.736%

(3)第三种战况，A胜4场，D胜2场：
出现的结果数为：(4+2-1)!/(4-1)!(4+2-1-(4-1))!=10
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^2*10=20.736%

最终能取得胜利的概率为12.96%+20.736%+20.736%=54.432%
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3、AHP=4, DHP=3

(1)第一种战况，A胜3场，D胜0场：
出现的结果数为：(3+0-1)!/(3-1)!(3+0-1-(3-1))!=1
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^0*1=21.6%

(2)第二种战况，A胜3场，D胜1场：
出现的结果数为：(3+1-1)!/(3-1)!(3+1-1-(3-1))!=3
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^1*3=25.92%

(3)第三种战况，A胜3场，D胜2场：
出现的结果数为：(3+2-1)!/(3-1)!(3+2-1-(3-1))!=6
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^2*6=20.736%

(4)第四种战况，A胜3场，D胜3场：
出现的结果数为：(3+3-1)!/(3-1)!(3+3-1-(3-1))!=10
攻击方获胜的概率为：(0.6)^3*(0.4)^3*10=13.824%

最终能取得胜利的概率为21.6%+25.92%+20.736%+13.824%=82.08%
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4、AHP=4, DHP=4

(1)第一种战况，A胜4场，D胜0场：
出现的结果数为：(4+0-1)!/(4-1)!(4+0-1-(4-1))!=1
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^0*1=12.96%

(2)第二种战况，A胜4场，D胜1场：
出现的结果数为：(4+1-1)!/(4-1)!(4+1-1-(4-1))!=4
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^1*4=20.736%

(3)第三种战况，A胜4场，D胜2场：
出现的结果数为：(4+2-1)!/(4-1)!(4+2-1-(4-1))!=10
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^2*10=20.736%

(3)第四种战况，A胜4场，D胜3场：
出现的结果数为：(4+3-1)!/(4-1)!(4+3-1-(4-1))!=20
攻击方获胜的概率为：(0.6)^4*(0.4)^3*20=16.5888%

最终能取得胜利的概率为12.96%+20.736%+20.736%+16.5888%=71.02%
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〈第二步：求均值看其分布〉

前面我们讲过了，概率算出来好多，每种情况的都有，但到底那种情况出现的最普遍呢？这就需要计算均值看其分布。均值是这样算得：

（A种战况下的概率x该情况下的结果数+B种战况下的概率x该情况下的结果数+……）/所有战况下的结果总数=这个作战单位这次作战获胜的概率均值

哎……表述总是很晦涩，还是看例子：

1、AHP=3, DHP=3
(21.6%*1+25.92%*3+20.736%*6)/(1+3+6)=22.3776%

2、AHP=3, DHP=4
(12.96%*1+20.736%*4+20.736%*10)/(1+4+10)=20.1216%

3、AHP=4, DHP=3
(21.6%*1+25.92%*3+20.736%*6+13.824%*10)/(1+3+6+10)=18.1%

4、AHP=4, DHP=4
(12.96%*1+20.736%*4+20.736%*10+16.588%*20)/(1+4+10+20)=18.1%
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从均值我们可以看出各种情况下的概率分布。

1、AHP=3, DHP=3的概率是这样分布的：

获胜概率
|
|                   战况2  
|25%          |----------|
|-------战况1--|----------|---战况3-----------均值22%            
|20%|---------|          |----------|
|      |         |          |          |                                       
|15%|         |          |          |                                          
|      |         |          |          |                     
|10%|         |          |          |
|      |         |          |          |                              
|      |         |          |          |                                    
|      |         |          |          |                                       
--------------------------------------------------------战况总数

2、AHP=3, DHP=4的概率是这样分布的：

获胜概率
|
|                  
|25%         
|                   战况2    战况3                    
|20%          |----------|----------|------均值20%
|                 |          |          |                                       
|15%          |          |          |                                          
|        战况1 |          |          |                           
|10%|---------|          |          |
|      |         |          |          |                                
|      |         |          |          |                                      
|      |         |          |          |                                         
--------------------------------------------------------战况总数

3、AHP=4, DHP=3的概率是这样分布的：

获胜概率
|
|                    战况2  
|25%           |----------|
|         战况1 |          |  战况3                             
|20%|----------|          |----------|
|-------|----------|----------|----------|--------------均值18%            
|15%|          |          |          |  战况4                  
|       |          |          |          |----------|                     
|10%|          |          |          |          |
|       |          |          |          |          |                     
|       |          |          |          |          |                           
|       |          |          |          |          |                              
--------------------------------------------------------战况总数

4、AHP=4, DHP=4的概率是这样分布的：

获胜概率
|
|                  
|25%         
|                   战况2    战况3                    
|20%           |----------|----------|
|------------------|----------|----------|--战况4-------均值18%         
|15%           |          |          |----------|              
|         战况1 |          |          |          |               
|10%|----------|          |          |          |
|       |          |          |          |          |                     
|       |          |          |          |          |                           
|       |          |          |          |          |                              
--------------------------------------------------------战况总数

通过计算概率和观察概率分布图，我们可以简单分析出以下结论：

1、一方获胜的总概率是由每次交锋（任意一方HP每减少1格算作一次交锋）的胜率累加得到的。

2、双方HP的总和决定了交锋的总次数（这并不是战况总数，而是你在游戏中能看到的两支部队交战的次数），即AHP+DHP-1

3、进攻方HP的增加，将增加战况总数，而每种战况下的胜率保持不变，但整场战斗的平均胜率（均值）会下降，也就是说由于战况增多、战斗的持久性增加，所以进攻方多次受损的可能性也增大。但是由于进攻方总胜率的增加，使得防守方的胜率变小，因此最终获胜的可能性仍然很大！只是在战斗中会损失较多的HP。

4、防守方HP的增加，将增加每种战况下的结果总数，会使每种战况下的胜率减小，而整场战斗的平均胜率（均值）将保持不变甚至有所提高，也就是说由于结果增多、战斗的不确定性增加，而防守方与进攻方之间胜率的不断缩小，使得进攻方整场作战的胜率下降，最终获胜的可能性也减小。

5、总体来说，任何一方HP变量的影响都很大。在不计地形加权的情况下，进攻方HP的增加对整个战局的影响更大。然而当游戏中后期，各种防御加权的累加很大时，防守方HP的增加将起到更大的作用。所以早期快攻是有优势的！

6、在攻防值相差不大的情况下，HP少的单位，作战效果会好于HP多的单位，但HP多的单位作战的持久性更强。这句话的意思是说HP少的单位会使HP多的单位损失很大，但由于HP多的单位战斗持久性强，所以最终可能还是HP多的单位赢！这个结论告诉我们，如果你有数支部队深入腹地被包围，那么为了保证其他部队的安全撤离，用HP少的单位垫后防守往往会有出其不意的效果。

7、在任何一种情况下，进攻方HP损失1点的概率都是最大的，所以你经常可以看到，你的部队与别人交战时，一上来就先损失了1点！这是很正常的。

8、在交战中，随着双方HP的不断减少，双方的胜率都会增加，最终达到单次交锋的胜率水平。如果某一方HP减至很少，那么它一旦获胜1次，胜率马上就会增加很多。这就是有时候你在游戏中看到对手明明被打得快挂掉了却又反败为胜的原因。

9、骑士、枪骑等快速作战单位（移动力至少为2）交战时，相当于普通单位（移动力只有1）在交战。快速单位进攻普通单位，撤退的概率大（下一篇有讲解）；普通单位进攻快速单位，胜率比快速单位进攻快速单位略高。
因此用中国铁骑进攻火枪兵（快速单位vs普通单位）损失不大，但进攻小日本武士（快速单位vs快速单位）却还没有用中世纪步兵效果好，而且不能撤退！！所以往往损失很大，因此对付这种难缠加变态兵种时，使用长弓手作为辅助进攻力量还是不错的。

[此贴子已经被作者于2004-5-19 21:34:45编辑过]

[ 本帖最后由 96nn 于 2007-12-26 22:41 编辑 ]

wangyushi

此类数理分析还是非常必要的。支持!

Jibuli

〈二〉快速单位撤退的概率计算公式：

撤退可以说是快速作战单位（移动力至少为2的单位）独有的能力，它在作战中的重要作用不言而喻。下面是限制撤退的一些条件：

(1)双方都是快速单位时，谁都不能撤退。

(2)快速单位身后若没有可撤退的方格时则不能撤退。包括身后的方格被非己方的其他单位占据，身后方格的地形移动力消耗大于或等于该单位移动力。（这一点显现出中国铁骑的优势，因为丘陵的移动力消耗为2，正好等于骑士的移动力而小于铁骑移动力，因此铁骑可以撤退到丘陵上而骑士却不能）

(3)当快速单位驻扎在城市或殖民地时不能撤退（呵呵~撤了谁守城啊~）

(4)快速单位vs普通单位，当普通单位的HP先下降到只剩1点时，快速单位不能撤退（我在下面的例子中有解释）

(5)当快速单位HP已经受损至只剩1点时，无论用其进攻还是防守都不能撤退（是哈~受损严重当然撤不了了~）
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1、快速单位进攻普通单位时，快速单位作为进攻方撤退的概率计算公式（Fast vs Slow）：

(A/(A+D))^m*RBsA+(A/(A+D))^m*(D/(A+D))*RBsD*(m+n)
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^表示幂（次方）运算
A=攻击方攻击值
D=防守方防御值
m=AHP-1（AHP表示攻击方生命值）
RBsA=攻击方对应级别的撤退加权（R=Regular=50%，V=Veteran=58%，E=Elite=66%）
RBsD=防守方对应级别的撤退加权（R=Regular=50%，V=Veteran=58%，E=Elite=66%）
n=对应级别的DHP损失量（R=Regular=1HP，V=Veteran=2HP，E=Elite=3HP）
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我以C3C中最常见的几种骑兵与步兵交战为例来说明这个公式怎样应用。由于马兵（A/D/M  2/1/2）vs长矛兵（A/D/M  1/2/1）、骑士（A/D/M  4/3/2）vs火枪手（A/D/M  2/4/1）、枪骑兵（A/D/M  6/3/3）vs步枪手（A/D/M  4/6/1）的A/(A+D)数值和(D/(A+D)数值都一样，都是0.5，因此比较好算。我们按照不同级别（HP不同，RBs不同）的部队交战情况来计算马兵、骑士和枪骑兵撤退的概率是多少：

(1) AHP=3, DHP=5
(0.5)^2x0.5+(0.5)^2x0.5x0.66x5=0.125+0.4125=53.75%
（这个式子里，RBsA=0.5，RBsD=0.66，m=3-1=2，n=3。这里需要说明一下为什么n要等于3。其实n也可等于0、1、2，但最大只能等于3，因为可撤退的一方是攻击方，攻击方在战斗到HP只剩1时，如果防守方HP也只剩1，那么双方必须决出胜负，则攻击方将不可撤退。因此攻击方出现撤退的可能只能是防守方的HP至少比攻击方多1点。这就是为什么n<=3。n取3的话，实际计算出的是攻击方可撤退的最大概率；n取0的话，则是最小概率。下面计算的都是可撤退的最大概率。）

(2) AHP=3, DHP=4
(0.5)^2x0.5+(0.5)^2x0.5x0.58x4=0.125+0.29=41.5%

(3) AHP=3, DHP=3
(0.5)^2x0.5+(0.5)^2x0.5x0.5x3=0.125+0.1875=31.25%

(4) AHP=4, DHP=5
(0.5)^3x0.58+(0.5)^3x0.5x0.66x6=0.0725+0.2475=32%

(5) AHP=4, DHP=4
(0.5)^3x0.58+(0.5)^3x0.5x0.58x5=0.0725+0.18125=25.38%

(6) AHP=4, DHP=3
(0.5)^3x0.58+(0.5)^3x0.5x0.5x4=0.0725+0.125=19.75%

(7) AHP=5, DHP=5
(0.5)^4x0.66+(0.5)^4x0.5x0.66x7=0.04125+0.144375=18.56%

(8) AHP=5, DHP=4
(0.5)^4x0.66+(0.5)^4x0.5x0.58x6=0.04125+0.10875=15%

(9) AHP=5, DHP=3
(0.5)^4x0.66+(0.5)^4x0.5x0.5x5=0.04125+0.078125=11.94%

概率依次降低……
结论：快速单位作为进攻方，进攻普通单位时，进攻方级别越低，越容易撤退；级别越高，越容易死战到底（呵呵~高级部队都重视荣誉嘛~~）。防守方级别越低，则会导致进攻方撤退的概率降低……所以高级别的部队虽然有较高的撤退加权，但实战中撤退的概率反而低，但是由于获胜的概率高，因此算是平衡了。由此我们推出一个结论，即使是低级别的快速作战部队，由于拥有较高的撤退概率，因此在进攻时应作为前锋对敌人发动首轮攻击，之后再由高级别部队开始进攻，这样不但可以有效的减少伤亡还消耗了敌人（C3C中有消耗的概念——就是部队连续作战后，作战能力会越来越差，虽然有时候看起来1点HP都没损失），提高了整体部队的生存和作战能力，也缩短了部队的修养周期。
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2、普通单位进攻快速单位时，快速单位作为防守方撤退的概率计算公式（Slow vs Fast）：

(D/(A+D))^n*RBsD+(D/(A+D))^n*(A/(A+D))*RBsA*(m+n)
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A=攻击方攻击值
D=防守方防御值
n=DHP-1（注意这里和前一个公式不一样！）
RBsA=攻击方对应级别的撤退加权（R=Regular=34%，V=Veteran=50%，E=Elite=66%）
RBsD=防守方对应级别的撤退加权（R=Regular=34%，V=Veteran=50%，E=Elite=66%）
m=对应级别的AHP损失量（R=Regular=1HP，V=Veteran=2HP，E=Elite=3HP）
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这个公式的计算方法和第一个公式是一样的，只是计算的时候要注意不要把各个变量代入错了。具体的计算还可以用上面的例子，我就不再算了，感兴趣的玩家以自己算。算出来好像是正好和上面的情况相反：概率依次升高……

结论：快速单位作为防守方，在遭到普通单位进攻时，防守方级别越高，越容易撤退；级别越低，越容易战死（现实中，低级部队挨打往往都跑不了嘛~）。进攻方级别越高，则防守方撤退的可能性越低。因此级别高的快速作战部队在防守时更容易撤退，生存能力较高。不过要注意上面提到的几种不能撤退的情况。因为在防守时，如果拥有相同的防御力，是优先选择级别最高的部队作为防御力量的，而在不能撤退的情况下，本来有可能撤退的高级别部队则丧失了这一优势，只能一战到底！结果遭受损失……
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〈三〉敌人在每轮炮击（轰炸）中受损程度的概率计算公式：

(D/(B+D))^i*(B/(B+D))^(ROF-i)*[ROF]
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^表示幂（次方）运算
B=BombardAttack炮击（轰炸）攻击力
D=Defence防守部队的防御力
ROF=Rate Of Fire火炮射速（简写为Rt）
i=0,1,2……ROF，表示每轮炮击中目标未被击中的次数（最大为ROF值）
ROF-i表示每轮炮击中目标被击中的次数
[ROF]表示炮击结果会出现几种情况，只有在i=\=（不等于）0或ROF值的情况下才需要乘以这个值，其数值=ROF值

公式的中文解释：
（防守部队的防御力/（炮击或轰炸攻击力+防守部队的防御力））^[以目标未被击中的次数为次方数计算次方值]x（炮击或轰炸攻击力/（炮击或轰炸攻击力+防守部队的防御力））^[以目标被击中的次数为次方数计算次方值]x每轮炮击或轰炸的次数（即ROF值）

注：例子中进行计算时使用的部队防御力是没有任何加权的防御力，实战中是按照经过各种加权修正的防御力进行计算的。最极端的情况是：一个处于防御状态的部队（+25%），驻扎在建造在丘陵（+50%）上的建有人防系统（+50%）大都市（100%）里面，旁边有己方的雷达塔（+25%），且攻击者进攻时跨河（+25%）……这样总的防御加权高达275%！这样炮击（轰炸）的效果会下降将近一半！！
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我想你肯定看公式看得头晕，还是看这几个例子吧：（B=炮击或轰炸攻击力/Rg=射程/Rt=射速）（D=防守部队的防御力）

1、一辆投石车（B/Rg/Rt  4/1/1）攻击一个长矛兵（D=2）：

长矛兵无损失的概率：(2/6)^1=33.3%
（表示长矛兵防守成功，因此用其防御力作分子进行计算）
长矛兵受损1点的概率：(4/6)^1x1=66.7%
（表示投石车攻击成功，因此用其攻击力做分子进行计算；又因为投石车射速只有1，所以每轮炮击只有一次，因此长矛兵最多只有1点损失。但是由于这个概率很高（实战中几乎每击必中），而且重要的是，早期防御加权小，一般都是一个防御状态（+25%）的矛兵在没有城墙的城镇（无加权）里面驻防（地形加权10%），因此总防御加权只有+35%，D=2.7，则矛兵受损的概率仍然较高，为59.7%。所以早期快攻时，先研究数学的作用就在于此。不过似乎HP的减少对命中率也有影响，因为投石车进攻已经有1点HP损失的矛兵时，命中率就会大大下降！！）

长矛兵受损总概率=66.7%
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2、一座抛弹机(Trebuchet)（B/Rg/Rt  6/1/1）攻击一个火枪手（D=4）：

火枪手无损失的概率：(4/10)^1=40%
火枪手受损1点的概率：(6/10)^1x1=60%

火枪手受损总概率=60%
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3、一座加农炮（B/Rg/Rt  8/1/1）攻击一个步枪手（D=6）：

步枪手无损失的概率：(6/14)^1=42.86%
步枪手受损1点的概率：(8/14)^1x1=57.14%

步枪手受损总概率=57.14%
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4、一座野战炮（B/Rg/Rt  12/2/2）攻击一个步兵（D=10）：

步兵无损失的概率：(10/22)^2=20.66%
（步兵两次均防守成功，且野战炮射速为2，因此进行平方运算）
步兵受损1点的概率：(10/22)^1x(12/22)^1x2=49.58%
（步兵在该轮的一次炮击中无损失，另一次炮击中受损，又因为野战炮射速为2，所以每轮炮击次数为2，因此步兵在该轮炮击中受损1点）
步兵受损2点的概率：(12/22)^2=29.75%
（步兵在该轮的两次炮击中均受损，进行平方运算）

步兵受损总概率=49.58%+29.75%=79.33%
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5、一架轰炸机（B/Rg/Rt  12/10/3）攻击一个步兵（D=10）

步兵无损失的概率：(10/22)^3=9.39%
步兵受损1点的概率：(10/22)^2x(12/22)^1x3=33.8%
（步兵在该轮的两次轰炸中无损失，另一次轰炸中受损，又因为轰炸机射速为3，所以每轮轰炸次数为3，因此步兵在该轮轰炸中受损1点）
步兵受损2点的概率：(10/22)^1x(12/22)^2x3=40.56%
（步兵在该轮的一次轰炸中无损失，另两次轰炸中受损，又因为轰炸机射速为3，所以每轮轰炸次数为3，因此步兵在该轮轰炸中受损2点）
步兵受损3点的概率：(12/22)^3=16.22%

步兵受损总概率=33.8%+40.56%+16.22%=90.58%
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6、一枚巡航导弹（B/Rg/Rt  16/4/3）攻击一辆步兵战车（D=18）

步兵战车无损失的概率：(18/34)^3=14.84%
步兵战车受损1点的概率：(18/34)^2x(16/34)^1x3=39.57%
步兵战车受损2点的概率：(18/34)^1x(16/34)^2x3=35.18%
步兵战车受损3点的概率：(16/34)^3=10.42%

步兵战车受损总概率=39.57%+35.18%+10.42%=85.17%
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7、一座自行火炮（B/Rg/Rt  16/2/3）攻击一辆步兵战车（D=18）：

步兵战车无损失的概率：(18/34)^3=14.84%
步兵战车受损1点的概率：(18/34)^2x(16/34)^1x3=39.57%
步兵战车受损2点的概率：(18/34)^1x(16/34)^2x3=35.18%
步兵战车受损3点的概率：(16/34)^3=10.42%

步兵战车受损总概率=39.57%+35.18%+10.42%=85.17%
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8、最强的轰炸兵种—隐形轰炸机（B/Rg/Rt  18/16/3）攻击最强的防御兵种—步兵战车（D=18）

步兵战车无损失的概率：(18/34)^3=12.5%
步兵战车受损1点的概率：(18/34)^2x(18/34)^1x3=37.5%
步兵战车受损2点的概率：(18/34)^1x(18/34)^2x3=37.5%
步兵战车受损3点的概率：(18/34)^3=12.5%

步兵战车受损总概率=37.5%+37.5%+12.5%=87.5%
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*就大家讨论的热点——是用野战炮好还是用轰炸机好的问题分析一下：

野战炮vs步兵：
均值：(20.66%*1+49.58%*2+29.75%*1)/(1+2+1)=37.39%
方差：(20.66%-37.39%)^2*1+(49.58%-37.39%)^2*2+(29.75%-37.39%)^2*1=0.06355
标准差：(0.06355)^(1/2)=0.252

轰炸机vs步兵：
均值：(9.39%*1+33.8%*3+40.56%*3+16.22%*1)/(1+3+3+1)=31.09%
方差：(9.39%-31.09%)^2*1+(33.8%-31.09%)^2*3+(40.56%-31.09%)^2*3+(16.22%-31.09%)^2*1=0.09831
标准差：(0.09831)^(1/2)=0.314

前面已经讲过方差和标准差是用来衡量准确度的参数。方差和标准差越小，表明偏离目标的程度越小，打击的精度就越高，因此野战炮的命中率要比轰炸机的命中率高！但是你要注意，野战炮对目标造成2点伤害的概率很低，而轰炸机虽然一发命中率没有野战炮高，但是造成2点伤害的概率要比野战炮大得多！
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从这些例子中我们看出的规律是：
射速低，一发命中的概率高，但敌人受损程度小；射速高，一发命中的概率会略低，但敌人受损程度大。命中率的变化规律是：由早期的高命中率到中期逐渐变低，再到后期快速（飞机、巡航出现后）升高。

需要注意的是：炮兵是炸不死人的！海军也炸不死！但是战斗机可以炸死海军单位，升级到隐形战斗机后能炸死陆军单位；而轰炸机、F-15和巡航则是通吃，什么都能炸死！呵呵~慢慢炸吧~~

另外，在轰炸型单位发展的四个时代中，后两个时期无疑是命中率大幅提高的时期，但是这时候城市已发展成6人口以上甚至12人口以上，还有人防系统的出现，再加上地形的影响，总的防御加权至少为85%，因此真正的命中率要比计算的降低1/5左右。但仍比前两个时期高出不少。但遗憾的是，从古典时期出现投石车到中世纪末期研究出加农炮以来，炮兵的命中率却一直是在倒退的……因此在中世纪不是一个发动战争的好时期，至少不是攻城战的好时期。而在工业时代和现代之交时轰炸机（第一种射速达到3的轰炸单位）出现的时候，搭配野战炮和即将出现的巡航，几乎可以把任何敌人一击致死！因此是发动战争的最好时期！！

从科技的发展来看，轰炸型单位（炮兵、舰船、飞机）基本上是和同时代的防御兵种一起出现的。虽然文明一直强调防守，但是这些单位的出现，无疑使得进攻被加强了。因此，地形的加权不再显得那么牢不可破！善用这些单位将会使得战斗变得更加轻松，进攻的艺术将被再次体现……
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〈四〉空军单位被防空武器（AA）击落的概率计算方法：

关于防空武器的防空概率请参阅以前的同名文章《空军单位被防空武器（AA）击落的概率计算方法》。

[ 本帖最后由 96nn 于 2007-12-26 22:41 编辑 ]

风卷残云

个人认为征服把空军的作用削弱了不少，虽然空军依然有轰炸范围的优势，但不少兵种都增加了防空能力，而且这个防空不是击伤而是直接打死（虽然概率不高），相对而言炮兵就没有这个顾虑……

Jibuli

概率分布图乱了~~

Jibuli

以下是引用风卷残云在2004-5-20 0:13:37的发言：
个人认为征服把空军的作用削弱了不少，虽然空军依然有轰炸范围的优势，但不少兵种都增加了防空能力，而且这个防空不是击伤而是直接打死（虽然概率不高），相对而言炮兵就没有这个顾虑……

空军炸别人也是直接炸死的！而且概率很高！总的来说，我觉得空军不但占优势，而且优势很大~

wangyushi

空军较炮兵的优势更明显些，为立体战争(对地、对海、对空)所必需，功能多样且效果显著。

风卷残云

以下是引用Jibuli在2004-5-20 0:38:02的发言：
空军炸别人也是直接炸死的！而且概率很高！总的来说，我觉得空军不但占优势，而且优势很大~

空军与炮兵一对一比较肯定占优势，但考虑到空军产生的时间、造价等问题，我觉得1个空军的能力至少顶3、4个炮兵才能算占优势，在这个基础之上被各种防空武器封锁无疑是很头疼的……
直接炸死的功能在对海军或防守时体现的突出一点（进攻大城市时很少能直接炸死驻守的陆军，除非空军数量比对方驻军多出很多，或者有大量炮火支援），但现代海军大半也有防空能力，一不小心被打下来也够心疼的，哈哈……
另外防空的设置如果能象轰炸一样，每次减少一定的生命值而非直接打死，空军的作用则会提高不少，也更符合实际，呵呵……

秋风明月

详细哦，谢谢拉

lionstar

好贴 的确是老大的高论阿 受益匪浅！

阳关雪

楼主搞得太专业了点，看得有点头晕

我不是喜欢把文明当作一个发展型的游戏来玩，而不是战斗式的。

96nn

那么轰炸空地上的灌溉、开矿等设施时的成功率是怎么算的呢？

李子羽

眼花那个缭乱啊

123ewq

好东西，没看懂，

zhaozhao

就是,就是!